복소수는 수학에서 실수와 허수의 합으로 표현되는 수이다. 일반적인 형태는 a + bi 로, 여기서 a는 실수부, b는 허수부이며, i는 허수 단위로 정의되어 i² = -1을 만족한다.
복소수의 기초 개념
- 실수부와 허수부: 복소수 z = a + bi에서 a는 실수부, b는 허수부다. 실수부는 복소평면의 x축에 해당되고, 허수부는 y축에 해당된다.
- 복소평면: 복소수는 복소평면(또는 아르간 평면)에서 점으로 나타낼 수 있다. 이 평면에서 실수 축은 x축, 허수 축은 y축으로 구성된다.
복소수의 연산
- 덧셈과 뺄셈: 두 복소수를 더하거나 빼려면 각각의 실수부끼리, 허수부끼리 연산
- 예: (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i
- 예: (a + bi) - (c + di) = (a - c) + (b - d)i
- 곱셈: 두 복소수를 곱할 때는 분배법칙을 사용하며, i² = -1 임을 고려
- 예: (a + bi)(c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i
- 나눗셈: 나눗셈은 분모의 켤레복소수를 이용하여 계산
- 예: (a + bi) / (c + di) × {c - di) / (c - di) = {(ac + bd) + (bc - ad)i} / (c² + d²)
복소수의 기하학적 해석
- 절댓값: 복소수 z = a + bi의 절댓값(크기)은 원점에서 해당 점까지의 거리로, |z| = √(a² + b²) 로 정의
- 편각: 복소평면에서 실수축과 이루는 각도(편각)는 θ = tan^(-1)(b/a) 로 구할 수 있음
오일러 공식과 극형태
- 오일러 공식: 복소수를 지수 함수와 삼각 함수로 연결하는 중요한 공식으로, eⁱˣ = cos(x) + i·sin(x) 이다. 이를 통해 복소수를 지수 형태로 표현할 수 있다.
- 극형태: 복소수를 극형태로 표현하면 z = r(cosθ + i·sinθ) 가 되며, 여기서 r은 절댓값, θ는 편각이다. 극형태를 사용하면 곱셈과 나눗셈이 더욱 간단해진다.
