함수

함수

• 집합 A, B에 대해 집합 A에서 B로 가는 관계가 성립할 때, 집합 A의 원소 a에 대해 집합 B의 원소 b 하나가 대응되는 관계
• 원상: 집합 B의 원소 b에 대응하는 집합 A의 원소 a
• 상: 집합 A의 원소 a에 대해 대응되는 집합 B의 원소 b : f(a)
• 정의역: 원상의 집합, 집합 A : dom(f)
• 공역: 상에 대한 전체집합, 집합 B : codom(f)
• 치역: 상의 집합, 집합 B의 부분집합 : ran(f) = {f(a) | a ∈ A}

관계와 함수의 차이

집합 A에서 집합 B로의
관계	함수
집합 A(정의역)의 어떤 원소는 집합 B(공역)의 원소와 대응하지 않거나 하나 이상의 원소와 대응할 수 있음	집합 A(정의역)의 모든 원소는 집합 B(공역)에서 하나의 원소와 반드시 대응해야 함

단사함수

• Injective Function, Injection, 일대일 함수
• 함수 f: X→Y가 있을 때, 임의의 두 정의역 원소 x₁, x₂∈X에 대해 x₁ ≠ x₂이면, f(x₁) ≠ f(x₂)인 함수
• |dom(f)| ≤ |codom(f)|
• |ran(f)| ≤ |codom(f)|
• 정의역의 모든 원소들이 서로 다른 공역 원소와 대응하는 함수

전사함수

• Subjective Function, Subjection, 반영 함수
• 함수 f: X→Y가 있을 때, 모든 공역 원소 y∈Y에 대해, f(x) = y인 정의역 원소 x∈X가 적어도 하나 이상 존재하는 함수
• |dom(f)| ≥ |codom(f)|
• |ran(f)| = |codom(f)|
• 공변역의 모든 원소들이 한 개 이상의 정의역 원소들과 대응하는 함수

전단사함수

• Bijective Function, One-to-one Correspondence, 일대일 대응
• 단사함수이면서 전사함수인 함수
• |dom(f)| = |codom(f)|
• |ran(f)| = |codom(f)|
• 한 개의 정의역 원소가 한 개의 공역 원소와 서로 대응하는 함수

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합성함수

• Composition Function, g ৹ f
• 두 함수 f : A → B와 g: B → C가 있을 때, 집합 A의 각 원소를 집합 C의 원소에 대응하는 새로운 함수

합성함수의 특성

• 집합 A, B, C가 있고 f : A → B, g: B → C에 대해 g ৹ f가 합성함수일 경우
• ① f와 g가 단사함수이면 g ৹ f도 단사함수
• ② f와 g가 전사함수이면 g ৹ f도 전사함수
• ③ f와 g가 전단사함수이면 g ৹ f도 전단사함수
• ④ g ৹ f가 단사함수이면 f도 단사함수
• ⑤ g ৹ f가 전사함수이면 g도 전사함수
• ⑥ g ৹ f가 전단사함수이면 f는 단사함수이고, g는 전사함수

항등함수

• Identity Function
• 집합 A에 대한 함수 f : A → A가 f(a) = a로 정의되는 관계
• 항등함수는 정의역의 원소 x₁, x₂가 x₁ ≠ x₂ 일 때, f(x₁) ≠ f(x₂) 이므로 단사함수
• 모든 공역 원소 y에 대해 f(x) = y를 만족하는 정의역 원소 x를 가지므로 전사함수이므로 항등함수는 전단사함수

역함수

• Inverse Function
• 전단사함수 f : A → B에 대해 B → A로 대응되는 관계
• a∈A, b∈B에 대해 f(a) = b일 때, f⁻¹(b) = a
  • f(a): 가역함수
  • f⁻¹(b): 역함수
• 역함수와의 합성함수는 항등함수
• (g ৹ f)⁻¹ = f⁻¹ ৹ g⁻¹

상수함수

• Constant Function
• 함수 f : A → B에서 집합 A의 모든 원소가 집합 B의 원소 하나에만 대응되는 관계
• ∀a∈A, ∃b∈B에 대해 f(a) = b
• 상수함수 f : A → B의 경우 정의역의 모든 원소 x₁, x₂∈A에 대해 x₁ ≠ x₂여도 f(x₁) = f(x₂) = y이므로 단사함수가 성립하지 않음
• 단 하나의 공역 원소를 제외하고 그 외의 y∈B에 대해 f(x) = y를 만족하게 하는 x∈A가 존재하지 않기 때문에 전사함수도 아님
  • 하지만 공역의 기수가 |B| = 1인 경우는 전사함수의 특성을 가짐

특성함수

• Characteristic Function
• 관계행렬과 같이 어떤 집합에 원소가 있는지 없는지를 판별하는 함수
• 이 함수의 공역은 입력에 대응하는 출력이 있다는 의미의 1과 없다는 의미의 0만 존재

바닥함수

• Floor Function
• x∈R에 대해 x와 같거나 x보다 작은 정수들 중 가장 큰 정수를 대응하는 함수
• ⌊x⌋ ↔ n ≤ x < n+1, n∈Z

천장함수

• Ceiling Function
• x∈R에 대해 x와 같거나 x보다 큰 정수들 중 가장 작은 정수를 대응하는 함수
• ⌈x⌉ ↔ n-1 < x ≤ n, n∈Z